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\lhead{ \Large{EXERCICES MPSI}}\chead{ \LARGE {B3 IX. INTEGRATION (niveau 2)}} \rhead {\Large{R. FERRÉOL  16/17}}
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\begin{document}


\QTP{Body Math}
\bigskip \fbox{FONCTIONS D\'{E}FINIES PAR MORCEAUX}

\begin{enumerate}
\item : Remplir le tableau suivant ( les fonctions sont consid\'{e}r\'{e}es
comme d\'{e}finies sur $[-1,1])$

:$%
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline
& trac\'{e} de la courbe\ \ \ \ \ \ \ \ \ \  & en escalier ? & $\left. 
\begin{array}{c}
\text{affine par} \\ 
\text{morceaux?}%
\end{array}%
\right. $ & $\left. 
\begin{array}{c}
\text{continue par} \\ 
\text{morceaux ?}%
\end{array}%
\right. $ & $\left. 
\begin{array}{c}
C^{1}\text{par} \\ 
\text{morceaux?}%
\end{array}%
\right. $ \\ \hline
$\left. 
\begin{array}{c}
x\mapsto \left\lfloor x\right\rfloor%
\end{array}%
\right. $ & $\left. 
\begin{array}{c}
\; \\ 
\; \\ 
\;%
\end{array}%
\right. $ &  &  &  &  \\ \hline
$\left. 
\begin{array}{c}
x\mapsto x-\left\lfloor x\right\rfloor%
\end{array}%
\right. $ & $\left. 
\begin{array}{c}
\; \\ 
\; \\ 
\;%
\end{array}%
\right. $ &  &  &  &  \\ \hline
$\left. 
\begin{array}{c}
x\mapsto x^{2}-\left\lfloor x^{2}\right\rfloor%
\end{array}%
\right. $ & $\left. 
\begin{array}{c}
\; \\ 
\; \\ 
\;%
\end{array}%
\right. $ &  &  &  &  \\ \hline
$\left. 
\begin{array}{c}
x\mapsto \sqrt{x^{2}-\left[ x^{2}\right] }%
\end{array}%
\right. $ & $\left. 
\begin{array}{c}
\; \\ 
\; \\ 
\;%
\end{array}%
\right. $ &  &  &  &  \\ \hline
$\left. 
\begin{array}{c}
x\mapsto \left( x-\left\lfloor x\right\rfloor \right) ^{2}%
\end{array}%
\right. $ & $\left. 
\begin{array}{c}
\; \\ 
\; \\ 
\;%
\end{array}%
\right. $ &  &  &  &  \\ \hline
$\left. 
\begin{array}{c}
x\mapsto \sqrt{1-\left( x-\left\lfloor x\right\rfloor \right) ^{2}}%
\end{array}%
\right. $ & $\left. 
\begin{array}{c}
\; \\ 
\; \\ 
\;%
\end{array}%
\right. $ &  &  &  &  \\ \hline
$\left\{ 
\begin{array}{c}
x\neq 0\mapsto x\left\lfloor \dfrac{1}{x}\right\rfloor \\ 
0\mapsto 1%
\end{array}%
\right. $ & $\left. 
\begin{array}{c}
\; \\ 
\;%
\end{array}%
\right. $ &  &  &  &  \\ \hline
$\left\{ 
\begin{array}{c}
x\neq 0\mapsto \sin \dfrac{1}{x} \\ 
0\mapsto 0%
\end{array}%
\right. $ & $\left. 
\begin{array}{c}
\; \\ 
\;%
\end{array}%
\right. $ &  &  &  &  \\ \hline
$\left\{ 
\begin{array}{c}
x\neq 0\mapsto x.\sin \dfrac{1}{x} \\ 
0\mapsto 0%
\end{array}%
\right. $ & $\left. 
\begin{array}{c}
\; \\ 
\;%
\end{array}%
\right. $ &  &  &  &  \\ \hline
\end{tabular}%
\ $

\item : Soient $a,b\in \mathbb{R}$ avec $a<b$

\begin{enumerate}
\item Donner un exemple de fonction prenant un nombre fini de valeurs sur $%
\left[ a,b\right] ,$ et qui ne soit pas en escalier.

\item Montrer que $f$ est en escalier sur $\left[ a,b\right] $ si et
seulement si $f$ prend un nombre fini de valeurs sur $\left[ a,b\right] $ et
y poss\`{e}de un nombre fini de points de discontinuit\'{e}.

\fbox{INT\'{E}GRALE D'UNE FONCTION CM}
\end{enumerate}

\item : Soit $f$ une fonction r\'{e}elle continue sur un intervalle $[a,b]$
avec $a\neq b$ ;

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $\int_{a}^{b}f=0$ alors $f$ s'annule en au moins un
point de $\left] a,b\right[ .$

\begin{enumerate}
\item Par le th\'{e}or\`{e}me des valeurs interm\'{e}diaires appliqu\'{e} 
\`{a} $f.$

\item Par le th\'{e}or\`{e}me de Rolle.
\end{enumerate}

\item En d\'{e}duire que si $f$ continue sur $[0,1]$ v\'{e}rifie $%
\int_{0}^{1}f=1/2,$ $f$ poss\`{e}de au moins un point fixe sur $\left] 0,1%
\right[ .$

\item En d\'{e}duire aussi que si $f$ est une fonction r\'{e}elle continue
et p\'{e}riodique sur $\mathbb{R}$, pour tout r\'{e}el $U$ il existe un r%
\'{e}el $a$ tel que $f(a+U)=f(a)$ (cf exercices 19.a. et 15 continuit\'{e}
pour une autre d\'{e}monstration).
\end{enumerate}

\item * :

\begin{enumerate}
\item Proposer une formule explicite pour $f(x)=\dint_{0}^{x}\left[ \sqrt{t}%
\right] dt$.

\item D\'{e}terminer les points de continuit\'{e} et les points de d\'{e}%
rivabilit\'{e} de $f.$

\item V\'{e}rifier que $f\left( x\right) \underset{x\rightarrow +\infty }{%
\sim }\dint_{0}^{x}\sqrt{t}~dt.$
\end{enumerate}

\item : Soit $f$ une fonction impaire d\'{e}finie sur $\mathbb{R}_{+}$ par $%
:\left\vert 
\begin{array}{c}
x\in \left[ 0,1\right] \mapsto x \\ 
x\geqslant 1\mapsto \dfrac{1}{x}%
\end{array}%
\right. .$ On pose $F\left( x\right) =\dint_{0}^{x}f\left( t\right) dt.$

\begin{enumerate}
\item D\'{e}finir la fonction $F$ par intervalles. Tracer, en parall\`{e}le,
les courbes de $f$ et $F.$

\item $F$ est-elle continue, d\'{e}rivable, de classe $\mathcal{C}^{1},$
deux fois d\'{e}rivable sur $\mathbb{R}$ ?

\item $F$ est-elle de classe $\mathcal{C}^{\infty }$ par morceaux sur $\left[
-2,2\right] $ ?\newline
\newline
\newline
\fbox{TAYLOR}
\end{enumerate}

\item : Soit $f$ une fonction deux fois d\'{e}rivable sur un intervalle $I,$ 
\`{a} valeurs r\'{e}elles. Red\'{e}montrer \`{a} l'aide de la formule de
Taylor avec reste int\'{e}gral que si $f^{\prime \prime }\geqslant 0$ sur $%
I, $ alors $\mathcal{C}_{f}$ est situ\'{e} au-dessus de ses tangentes.

\item : Calculer $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^{2}\times 2}+\dfrac{1}{%
2^{3}\times 3}+\dfrac{1}{2^{4}\times 4}+\cdots $ $;$ en donner une valeur
approch\'{e}e \`{a} $10^{-3}$ pr\`{e}s.

\item :

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer $\arctan ^{\left( n\right) }\left( x\right) $, en
utilisant le fait que $\arctan ^{\prime }\left( x\right) =\func{Im}\left( 
\dfrac{1}{x-i}\right) $ (mettre sous forme r\'{e}elle).

\item En d\'{e}duire que 
\begin{equation*}
\left\vert \arctan ^{(n)}(x)\right\vert \leqslant \dfrac{(n-1)!}{\left(
x^{2}+1\right) ^{n/2}}\leqslant \left( n-1\right) !
\end{equation*}

\item En d\'{e}duire par l'in\'{e}galit\'{e} de Taylor-Lagrange, que 
\begin{equation*}
\forall x\in \lbrack -1,1]\;\;\arctan x=\underset{k=0}{\overset{\infty }{%
\dsum }}\left( -1\right) ^{k}\dfrac{x^{2k+1}}{\left( 2k+1\right) }
\end{equation*}

Que donne $x=1$ ??
\end{enumerate}

\item 
\begin{equation*}
\FRAME{itbpF}{1.9086in}{2.3298in}{0in}{}{}{Figure}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "T";width 1.9086in;height 2.3298in;depth
0in;original-width 2.5823in;original-height 3.1583in;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename
'ORFZF000.wmf';tempfile-properties "PR";}}
\end{equation*}

Quelles sont les coordonn\'{e}es du point limite de cette spirale (suppos%
\'{e}e continuer \`{a} l'infini) ? Quelle est sa longueur ?

Idem en rempla\c{c}ant $1/n,n\geqslant 1$ par $1/q^{n},$ $n\geqslant 0\ \
(q>1).$

\newline
\fbox{SOMMES DE RIEMANN}

\item : Applications du th\'{e}or\`{e}me des sommes de Riemann.\newline
D\'{e}terminer la limite ou un \'{e}quivalent des sommes suivantes :

\begin{enumerate}
\item $u_{n}=\dfrac{1}{n+a}+\dfrac{1}{n+2a}+\cdots +\dfrac{1}{n+n\times a}$ (%
$a>0)$

\item $u_{n}=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\cdots +\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ (attention,
il y a un probl\`{e}me \`{a} soulever).

\item $u_{n}=\overset{n}{\underset{k=1}{\dsum }}\sqrt{n^{2}-k^{2}}.$

\item $u_{n}=\sqrt[n]{\dfrac{\left( 2n\right) !}{n!}}\smallskip $

\item $u_{n}=\underset{k=0}{\overset{2^{n}-1}{\sum }}f\left( \dfrac{x+k}{%
2^{n}}\right) $ avec $x$ fix\'{e} dans $\left[ 0,1\right] $ et $f$ continue
par morceaux sur $\left[ 0,1\right] .$
\end{enumerate}

\item : Soit $f$ une fonction de classe $C^{1}$ sur $[0,1]$, $S_{n}=\dfrac{1%
}{n}\overset{n}{\underset{k=1}{\dsum }}f\left( \dfrac{k}{n}\right) $ et $%
l=\dint_{0}^{1}f(x)dx.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $f$ est croissante, $0\leqslant S_{n}-l\leqslant \dfrac{%
f(1)-f(0)}{n}.$

\item * : Montrer que dans tous les cas, $S_{n}-l$ $\sim \dfrac{f(1)-f(0)}{2n%
}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
